Mathematiker löst Jahrhundertproblem...

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neuester Beitrag: 23.08.06 06:31
eröffnet am: 22.08.06 08:16 von: börsenfüxlein Anzahl Beiträge: 17
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22.08.06 08:16
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18298 Postings, 6957 Tage börsenfüxleinMathematiker löst Jahrhundertproblem...

Wenn der Internationale Mathematikerkongress ICM 2006 am Dienstag in Madrid seine Pforten öffnet, wird der klügste Kopf zuhause bleiben.

Der russische Mathematiker Grigori Perelman könnte ein Problem gelöst haben, an dem sich Experten seit hundert Jahren die Zähne ausbeißen. Die Poincaré-Vermutung, die der große französische Mathematiker Henri Poincaré (1854-1912) vor rund 100 Jahren aufgestellt hatte, ist so kompliziert, dass sie nicht nur für Laien unverständlich ist, sondern auch die Künste vieler Experten übersteigt.

Die Poincaré-Vermutung wird von vielen für das bedeutendste ungelöste Problem in der Topologie gehalten. Es geht dabei um die Frage, wie die Oberfläche von vierdimensionalen Körpern beschaffen ist. Das Thema hat weitreichende Bedeutung: Experten erhoffen sich davon Rückschüsse auf die Beschaffenheit des Universums.

Im Jahr 2000 zählte das Clay Mathematics Institute die Poincaré-Vermutung unter die sieben bedeutendsten ungelösten mathematischen Probleme und lobte für die Lösung einen Preis von einer Million US-Dollar aus.

Scheues Genie

Mehrere Mathematiker hatten bereits geglaubt, den Nachweis erbracht zu haben, mussten aber später Fehler eingestehen. Perelman könnte das Jahrhundertproblem gelöst haben. Er schloss sich daheim in St. Petersburg jahrelang ein, bis er 2002 und 2003 seine Rechnungen im Internet veröffentlichte. Anschließend erläuterte er seine Arbeiten an mehreren Universitäten in den USA. Seither ist er von der Bildfläche der Öffentlichkeit praktisch verschwunden.

Geheimnis um die Beweisführung

In seiner Beweisführung konnte bislang niemand größere Fehler entdecken. ?Unter den Wissenschaftlern macht sich die Überzeugung breit, dass Perelman das Rätsel geknackt hat?, schreibt die britische Zeitung ?The Guardian?. Um Anspruch auf eine Million Dollar erheben zu können, müsste der Russe seine Arbeiten in einer anerkannten Fachzeitschrift veröffentlichen. Dazu machte er aber keine Anstalten.

Geld und Ruhm kein Anreiz

?Geld interessiert ihn nicht im Geringsten?, sagten russische Wissenschaftler über ihren Kollegen. Der Spanier Manuel de León, der Präsident des Mathematikerkongresses, meint: ?Perelman ist ein Genie. Er denkt an andere Dinge. Mich erinnert er an den Schachspieler Bobby Fischer.?

Manche halten den 40-jährigen Russen für den ?intelligentesten Menschen der Welt?. Auf dem Internationalen Mathematikerkongress ICM 2006, der am Dienstag in Madrid eröffnet wird, könnte er sich von 5000 Kollegen aus aller Welt als Held feiern lassen. Aber das Genie mit dem dunklen Bart und dem schütteren Haar will von Ruhm nichts wissen.

Favorit für Fields-Medaillen

Perelman wird bei dem Kongress, auf dem er der unumstrittene Star wäre, wahrscheinlich durch Abwesenheit glänzen. Die Veranstalter schickten mehrere Einladungen nach St. Petersburg, aber sie erhielten keine Antwort. ?Es besteht praktisch keine Hoffnung, dass Perelman in Madrid erscheint?, schreibt die spanische Zeitung ?El País?.

Aber auch als Abwesender könnte der Russe in Madrid eine wichtige Rolle spielen: Er wird bei der Vergabe der renommierten Fields-Medaillen als Favorit gehandelt. Die Medaillen gehören zu den wichtigsten Auszeichnungen für Mathematiker und werden oft mit dem Nobelpreis verglichen.

 

22.08.06 08:19
5

45395 Postings, 6125 Tage joker67Ja und wo ist nun die Rechnung damit ich mal einen

kurzen Blick drauf schmeissen und kontrollieren kann.

Da könnte ja jeder was behaupten.;-)

greetz joker  

22.08.06 08:20
2

13436 Postings, 7235 Tage blindfishes stimmt, joker...

hab es vorhin beim kaffee schon mal schnell nachgerechnet...

;-)  

22.08.06 08:21

18298 Postings, 6957 Tage börsenfüxlein@joker

kannst ihn ja mal besuchen...sicher ein netter Mensch...*g*


 
Angehängte Grafik:
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22.08.06 08:22
1

45395 Postings, 6125 Tage joker67Hat der sich schon die Zähne geputzt? o. T.

22.08.06 08:23

18298 Postings, 6957 Tage börsenfüxleindie...

Augenbrauen sind sicherlich "gefaked"....gibts doch gar nicht, oder ?


füx  

22.08.06 08:24

50062 Postings, 5980 Tage SAKUJep, mit Vodka ;o)

__________________________________________________
VIVA ARIVA!  

22.08.06 08:26
2

18298 Postings, 6957 Tage börsenfüxleindarum geht´s....

Poincaré-Vermutung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Die Poincaré-Vermutung wird von vielen für das bedeutendste ungelöste Problem in der Topologie gehalten. Sie ist benannt nach Henri Poincaré und wurde von diesem 1904 formuliert. Im Jahr 2000 zählte das Clay Mathematics Institute die Poincaré-Vermutung unter die sieben bedeutendsten ungelösten mathematischen Probleme und lobte für die Lösung einen Preis von einer Million US-Dollar aus.

Inzwischen ist die Vermutung möglicherweise bewiesen: Von Grigori Perelman wurden 2002 mehrere Arbeiten vorgelegt, die von der Fachwelt zwar immer noch auf ihre Richtigkeit überprüft werden, aber aller bisherigen Einschätzung nach die Vermutung beweisen.

Die Poincaré-Vermutung lautet:

Jede geschlossene einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre
Darüberhinaus gibt es noch eine Verallgemeinerung der Vermutung, auf n-dimensionale Mannigfaltigkeiten in der folgenden Form:

Jede geschlossene n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp einer n-Sphäre ist zur n-Sphäre homöomorph.
Für den Fall n = 3 stimmt diese verallgemeinerte Vermutung mit der ursprünglichen Poincaré-Vermutung überein.

Vereinfacht kann man die Poincaré-Vermutung so beschreiben:

Die Oberfläche einer Kugel ist 2-dimensional, beschränkt, randlos und jede geschlossene Kurve lässt sich auf einen Punkt zusammenziehen, welcher auch auf der Kugel liegt. Sie ist auch das einzige 2-dimensionale Gebilde mit diesen Eigenschaften. Bei der Poincaré-Vermutung geht es um das 3-dimensionale Analogon: hier geht es um eine 3-dimensionale ?Oberfläche? auf einem 4-dimensionalen Körper.
Inhaltsverzeichnis [Verbergen]
1 Erläuterungen
2 Die Vermutung in höheren Dimensionen
3 Beweise
4 Bedeutung der Vermutung
5 Weblinks




Erläuterungen

Geschlossene Mannigfaltigkeit
Eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist etwas, das aus der Nähe wie ein 3-dimensionaler euklidischer Raum aussieht.
Geschlossen

Geschlossen bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Mannigfaltigkeit beschränkt ist (also sich nicht ins Unendliche ausdehnt), und dass sie keinen Rand hat. Eine dreidimensionale Kugel ist etwa eine 3-Mannigfaltigkeit, aber sie hat einen Rand (die Oberfläche), daher ist sie nicht geschlossen. Ihre Oberfläche ist dagegen eine geschlossene 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Die Poincaré-Vermutung stellt nur eine Behauptung für geschlossene Mannigfaltigkeiten auf.
Einfach zusammenhängend
Einfach zusammenhängend bedeutet, dass man jede geschlossene Kurve auf einen Punkt zusammenziehen kann. Ein Gummiband auf einer Kugeloberfläche lässt sich immer so auf der Oberfläche verschieben, dass es zu einem Punkt wird. Auf einem Torus (etwa einem Fahrradschlauch) beispielsweise funktioniert das Zusammenziehen nicht immer: Wenn das Gummiband rund um die dünnere Seite des Fahrradschlauches läuft, kann man es nie zu einem Punkt zusammenziehen. (Man müsste den Schlauch zerschneiden, was in der Topologie nicht erlaubt ist.) Daher ist ein Torus nicht einfach zusammenhängend.
3-Sphäre
Allgemein ist eine n-Sphäre (Bezeichnung: Sn) der Rand einer (n+1)-dimensionalen Kugel. Eine 1-Sphäre ist der Rand eines Kreises. Eine 2-Sphäre ist die Oberfläche einer 3-dimensionalen Kugel. Eine 3-Sphäre ist die Oberfläche einer 4-dimensionalen Kugel. Dieses Objekt kann man sich natürlich nicht mehr einfach vorstellen, weil es eigentlich in einem 4-dimensionalen Raum ?lebt?. Mathematisch kann man die 3-Sphäre natürlich mit Formeln beschreiben: Als alle Punkte im 4-dimensionalen Raum, die den Abstand 1 vom Nullpunkt haben:

Eine 2-Sphäre besteht aus zwei (hohlen) Halbkugeln, die an den Rändern zusammengefügt sind. Topologisch sind diese hohlen Halbkugeln eigentlich Kreisflächen (wenn man sie von oben plattdrückt entstehen zwei Scheiben). Damit kann man eine 2-Sphäre erhalten, indem man zwei Kreisflächen an den Rändern zusammenklebt. Genauso kann man ein relativ anschauliches Bild einer 3-Sphäre konstruieren. Man nimmt zwei Kugeln (entspricht den Kreisflächen im 2-Dimensionalen) und "klebt" sie an der entsprechenden Punkten der Oberfläche zusammen. Ein Weg auf der 3-Sphäre beginnt damit in einer der beiden Kugeln. Wenn man zum Rand kommt, dann springt man auf den entsprechenden Punkt der zweiten Kugel und umgekehrt. Auf diese Weise kann man Wege auf der 3-Sphäre im 3-dimensionalen Raum beschreiben. Man sieht auf diese Weise auch, dass es nirgendwo einen Rand gibt. Damit ist die 3-Sphäre geschlossen.

Die Vermutung in höheren Dimensionen [Bearbeiten]
Für n größer als 3 benötigt man den technischen Begriff der Homotopie. Zwei Mannigfaltigkeiten haben den gleichen Homotopietyp, wenn ihre Homotopiegruppen übereinstimmen. Für den Fall n=3 gilt die Aussage, dass eine einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit den gleichen Homotopietyp wie die 3-Sphäre hat, damit ist die n-dimensionale Formulierung zur normalen Poincaré-Vermutung äquivalent.


Beweise [Bearbeiten]
Für n = 2 ist die Aussage bewiesen, in diesem Fall sind sogar alle (geschlossenen) 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten bekannt und klassifiziert.

Im Fall n > 3 ist die Vermutung ebenso bewiesen. Stephen Smale hat diesen Beweis 1960 präsentiert und erhielt unter anderem dafür die Fields-Medaille.

Der Fall n = 3 hat sich (nicht überraschend) als der schwierigste erwiesen. Viele Mathematiker haben Beweise vorgelegt, die sich dann aber als falsch erwiesen. Selbst Poincaré hatte ursprünglich geglaubt, einen Beweis zu haben, aber bald darauf selbst einen Fehler und ein Gegenbeispiel gefunden. Dennoch haben einige dieser fehlerhaften Beweise das Verständnis der niedrig-dimensionalen Topologie erweitert.

Ende des Jahres 2002 tauchten Meldungen auf, Grigori Perelman vom Steklov Institut in St. Petersburg habe die Vermutung bewiesen. Er verwendet die von Richard Hamilton entwickelte analytische Methode des Ricci-Flusses, um die allgemeinere Vermutung der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten zu beweisen, aus der die Poincaré-Vermutung als Spezialfall folgt. Dabei veröffentlichte Perelman seine Arbeiten nicht, wie vom Clay Mathematics Institute gefordert, in einer begutachteten Zeitschrift, sondern im Online-Archiv arXiv und erklärte zugleich, er sei nicht materialistisch. Die sich über mehrere Publikationen erstreckende und insgesamt etwa 70 Seiten umfassende Beweiskette wurde seitdem von Mathematikern weltweit überprüft.

2006 zeigten Huai-Dong Cao und Xi-Ping Zhu endgültig die Poincaré-Vermutung und deren Geometrisierung, indem sie den Beweis von Perelman auf 300 Seiten genau ausgearbeitet darlegten.


Bedeutung der Vermutung [Bearbeiten]
Falls die Vermutung bewiesen ist, wäre damit ein wichtiger Beitrag zur Klassifizierung aller 3-Mannigfaltigkeiten geliefert. Dies liegt daran, dass Perelman eigentlich die allgemeinere Geometrisierungsvermutung geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten beweist, die die Poincaré-Vermutung als einen Spezialfall enthält.

 

22.08.06 08:33
3

50062 Postings, 5980 Tage SAKUErinnert mich n büschn an unser

Matheabi...

Kugel, die von einer Ebene geschnitten wird und die einen Berührungspunkt mit ner Geraden hat, welche orthogonal die Ebene schneidet. Das ganze im vierdimensionalen Raum...

OK - das hier is ein fitzelchen anspruchsvoller aber dafür hatten wir auch nur 4 Stunden Zeit und keine 102 Jahre *gg*
__________________________________________________
VIVA ARIVA!  

22.08.06 08:36

4969 Postings, 7299 Tage chreilSieht aus wie

Ra, Ra, Rasputin!

 

22.08.06 08:38

45395 Postings, 6125 Tage joker67füxlein, auf den ersten Blick kann ich da keine

größeren Fehler erkennen.;-))

greetz joker  

22.08.06 08:42
1

58960 Postings, 6257 Tage Kalli2003kiiwii??

So long (oder doch besser short?)  

Kalli  

 

22.08.06 08:45
2

4970 Postings, 7189 Tage Apfelbaumpflanzer@joker

Hier alle drei Papers:

http://arxiv.org/find/math/1/au:+Perelman_Grisha/0/1/0/all/0/1

Schau' mal kurz drüber.



Grüße

Apfelbaumpflanzer

 

22.08.06 08:54
1

21880 Postings, 6606 Tage utscheckJupp, das paßt...hmm...nun frage ich mich...

natürlich, ob ich schnell nach Madrid fahre, um es allen anderen zu erklären!

Mal in meinen Terminkalender schauen.
utscheck  

22.08.06 09:08

45395 Postings, 6125 Tage joker67Danke Apfelbaumpflanzer ich schau mal drüber;-))


greetz joker  

22.08.06 10:09

129861 Postings, 5986 Tage kiiwii...von Kugeln versteh ich leider auch nix...

[hm...ob man da was mit Klammern machen könnte.  (o)o(o)o(o)o(o)o(o)o(o) ...??]

Man weiß so wenig.


MfG
kiiwii  

23.08.06 06:31
1

18298 Postings, 6957 Tage börsenfüxleinSpiegel dazu...

JAHRHUNDERT-BEWEIS

Einsiedler verschmäht Mathe-Medaille

Die Internationale Mathematische Union hat heute Gregori Perelman mit der Fields-Medaille geehrt, der höchsten Auszeichnung für Mathematiker. Zur Verleihung reiste der geniale Eigenbrötler nicht an. Der Russe lehnt die Medaille ab - als erster der Preisträger.


Er lebt völlig zurückgezogen, sieht aus wie Rasputin, hasst Autos, lässt Haare und Fingernägel sprießen. Kein Hollywood-Regisseur könnte die Rolle des kauzigen und zugleich genialen Mathematikers besser besetzen - der Russe Gregori Perelman verkörpert das Klischee des Über-Denkers perfekt.



AP
Gregori Perelman: "Genialer Einsiedler"
Heute hat Perelman in Madrid eine der begehrten Fields-Medaillen verliehen bekommen - die höchste Auszeichnung für einen Mathematiker überhaupt, denn einen Nobelpreis gibt es für sie nicht. Doch Perelman ist nicht nach Madrid gekommen - er zieht es vor, in Russland zu bleiben. Die Veranstalter des Mathematikkongresses hatten ihn mehrfach eingeladen, ohne überhaupt eine Antwort zu bekommen.

Der "geniale Einsiedler", wie ihn die "Neue Züricher Zeitung", nannte, mag keinen Rummel um seine Person. Auch Geld interessiert ihn nicht. Dabei könnte er eine Million Dollar kassieren für seinen Beweis der Poincaré-Vermutung, ein 100 Jahre altes Problem aus der Topologie, die sich mit der Struktur von Räumen befasst. Diese Summe hatte die Clay-Stiftung für die Klärung der Poincaré-Vermutung ausgelobt und zur einzigen Bedingung gemacht, dass der Beweis in einer Fachzeitschrift veröffentlicht und damit von Kollegen überprüft wird.

Forschen auf der Datscha

Perelman verschmäht aber die Million. Er publizierte seine Lösung des Poincaré-Problems, an dem sich vor ihm schon viele Mathematiker die Zähne ausgebissen hatten, einfach im Internet. Im November 2002 erschien der erste Artikel auf arxiv.org, einem Portal, dass Wissenschaftler nutzen, um ihre Arbeiten schon vor dem Erscheinen in Fachmagazinen publik zu machen. Im März und Juli 2003 folgten zwei weitere Paper.


DIE POINCARÉ-VERMUTUNG
Der Mathematiker Henri Poincaré stellte 1904 die These auf, dass sich jede einfach zusammenhängende Oberfläche in eine Kugel verwandeln lässt - durch Verzerren, Zusammendrücken, jedoch ohne die Fläche zu zerreißen oder mit Löchern zu versehen. Als einfach zusammenhängend gilt dabei eine Fläche, wenn sich jedes um die Oberfläche gespannte Gummiband auf einen Punkt zusammenziehen lässt. Ein Torus, ein Donut- förmiges Gebilde also, stellt beispielsweise keine solche einfach zusammenhängende Fläche dar, weil er ein Loch in seiner Mitte hat und das Gummiband nicht darüber gezogen werden kann.

Poincaré wusste, dass seine Aussage für zwei Dimensionen richtig ist. Aber auch bei drei Dimensionen? Kurioserweise konnten Mathematiker die Poincaré- Vermutung für Dimensionen ab vier leichter beweisen als für die dritte Dimension. Es blieb dem Russen Gregori Perelman vorbehalten, den Beweis dafür zu führen.



Dass Perelman sich schon seit Jahren mit der Lösung der Poincaré-Vermutung beschäftigt, wusste kaum jemand. Der Russe hatte 1992 nach seiner Promotion einige Semester in den USA verbracht - unter anderem auch an der University of California in Berkeley. Dort fiel er durch seine Genialität und durch seine strikte Ablehnung materieller Dinge auf.

Lange hielt er es in Kalifornien nicht aus. Angebote renommierter Institute schlug er aus. Stattdessen ging Perelman zurück nach Russland und arbeitete allein, völlig zurückgezogen und wohnte monatelang in einer kleinen Datscha eines Freundes.

Der mögliche Beweis der Poincaré-Vermutung durch einen Einzelgänger aus Sankt-Petersburg machte unter Mathematikern schnell die Runde. 1904 hatte Henri Poincaré die Frage gestellt, anhand welcher Kriterien man erkennt, ob ein dreidimensionaler Raum eine Sphäre ist. Als dreidimensionale Sphäre definieren Mathematiker den Rand einer vierdimensionalen Kugel - analog zur zweidimensionalen Sphäre, die als Rand einer dreidimensionalen Kugel beschrieben wird.

Wer sich auf einer zweidimensionalen Sphäre bewegt, etwa ein Käfer, für den erscheint die Fläche unendlich. Er kann laufen, ohne je an eine Grenze zu stoßen. Läuft der Käfer immer geradeaus in eine Richtung, dann kommt er irgendwann wieder am Ausgangspunkt an.

Donuts verzerren und drücken

Ähnliches ist auch in dreidimensionalen Sphären denkbar: Ein Raumschiff könnte in eine Richtung fliegen und würde schließlich eines Tages wieder dort eintreffen, wo es gestartet ist. Deshalb könnte die mathematische Theorie dahinter auch Rückschlüsse auf die Geometrie unseres Universums ermöglichen.

Perelmans online veröffentlichter Beweis von Poincarés Vermutung wurde mittlerweile ausgiebig begutachtet - und abgesehen von kleineren, korrigierbaren Fehlern -, für richtig befunden. "Wir haben keine ernsthaften Probleme entdeckt, also Probleme, die nicht mithilfe der Methoden korrigiert werden können, die Perelman genutzt hat", schreiben beispielsweise die Mathematiker Bruce Kleiner und sein Kollege John Lott, Professor an der University of Michigan. Beide haben auf einer eigens für Perelman eingerichteten Webseite Kommentare und Einschätzungen gesammelt.

"Perelman fühlt sich isoliert"

Mit der Verleihung der Fields-Medaille ist Perelmans Beweis endgültig als richtig anerkannt. Der Mathematiker hatte bereits vorab angekündigt, einer Auszeichnung fernbleiben zu wollen. "Wenn sich zeigt, dass meine Beweisführung stimmt, brauche ich keine weitere Anerkennung", sagte er kürzlich Reportern der US-Zeitschrift "The New Yorker". "Ich habe von Anfang an gesagt, dass ich die Auszeichnung ablehnen werde. Die Medaille ist für mich völlig unbedeutend."

"Perelman hat die Fields-Medaille abgelehnt, weil er sich von der Gemeinschaft der Mathematiker isoliert fühlt", sagte der Präsident der Internationalen Mathematischen Union, John Ball. "Er hat eine etwas eigene Psychologie, aber das macht ihn auch interessant. Ich fürchte aber nicht um seine geistige Gesundheit." Perelman wolle nicht das "Aushängeschild der Mathematik" sein.

Ball war im Juni nach Petersburg gereist, um Perelman zur Annahme der Auszeichnung zu bewegen. Er berichtete, der Russe habe einen Lehrstuhl als Professor abgelehnt und sei derzeit ohne Arbeit." Nach Medienberichten lebt Perelman am Stadtrand von St. Petersburg bei seiner Mutter. Der 40-Jährige ist der erste Wissenschaftler in der Geschichte, der die renommierte Medaille ablehnt.

 

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